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四边形--简单四边形、复杂四边形、分类、面积、扭歪四边形

四边形
Six Quadrilaterals.svg
面积不同的四边形有不同的算法
见下文
内角90 (正方形和长方形时)

几何学中,四边形是指有四条边和四个顶点多边形,其内角和为360度。四边形有很多种,其中对称性最高的是正方形,其次是长方形或菱形,较低对称性的四边形如等腰梯形鹞形,对称轴只有一条。其他的四边形依照其类角的性质可以分成凸四边形和非凸四边形,其中凸四边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸四边形可以再进一步分成凹四边形和复杂四边形,其中复杂四边形表示边自我相交的四边形。

简单四边形

四边形可以分成简单四边形和复杂四边形两大类,简单四边形表示边没有交错的四边形,复杂四边形表示边有交错的四边形。

凸四边形

凸四边形是指所有角都比平角小的四边形,且两条对角线都落在其内部。

Quadrilaterals.svg

非凸四边形

简单四边形中的非凸四边形是指不是凸四边形的其他四边形。

复杂四边形

反平行四边形是复杂四边形的一个例子

边自我相交的四边形称为复杂四边形、折四边形、交叉四边形、蝴蝶四边形或领结四边形。交叉四边形在两个相交边的四个内角(两个锐角和两个优角)内角和可达720度。

分类

分类依据 根据对称的特性 根据四边长度: 根据角度大小: 根据边的情形: 根据顶点的情形:
种类
  • 一条对角线为对称轴:
    • 鹞形
  • 对角线均为对称轴:
    • 菱形
  • 一条对称轴:
    • 等腰梯形鹞形
  • 两条对称轴:
    • 矩形菱形
  • 四条对称轴:
    • 正方形
  • 旋转对称重合两次:
    • 平行四边形
  • 旋转对称重合四次:
    • 正方形
  • 两对对边长度相等:
    • 平行四边形
  • 两对邻边长度相等:
    • 鹞形
  • 四边长度相等:
    • 菱形正方形
  • 两对对角相等:
    • 平行四边形
  • 两对相邻角相等:
    • 等腰梯形
  • 四角相等:
    • 矩形
  • 对角和等于
    • 圆内接四边形
  • 一对对边平行:
    • 梯形
  • 两对对边平行:
    • 平行四边形
  • 四边可接圆形:
    • 圆外切四边形
  • 两对边长度和相等:
    • 圆外切四边形
  • 顶点都在一个圆上:
    • 圆内接四边形

面积

任意凸四边形面积可以利用下列算式算出:

其中表示两对角线的长度,是对角线的夹角 在正轴四边形(如菱形、正方形或鹞形),这个式子可以化简成:

其中由于是90°,因此修正项可以消掉。

若凸四边形的四边长度分别是,对角线长度为,对角线相交的角度为,其面积为:

若对角线相交的角度为,四边形的对边的关系:

底下是一些针对特殊四边形的面积公式:

扭歪四边形

一种扭歪四边形。

扭歪四边形,又称不共面四边形,是指顶点并非完全共面的四边形。因为扭歪四边形不存在唯一确定的内部区域,故无法计算其面积。