相似三角形--判定、性质

如图，三个对应的内角的角度都一样（但边长大小不需一样）的两个三角形，或：对应角相等，对应边成比例的两个三角形称为“相似三角形（similar triangles）”，其对应边之比称为相似比；两个相似比为1的相似三角形称为全等三角形。

• 下列三对边长，称为“对应边”

${displaystyle {overline {AB}};{overline {DE}},{overline {BC}};{overline {EF}},{overline {CA}};{overline {FD}}}$

• 下列三对角，称为“对应角”

${displaystyle angle A;angle D,angle B;angle E,angle C;angle F}$

当两个三角形相似时，我们利用下面的符号来表示：

${displaystyle triangle ABCsim triangle DEF}$

• 利用上面的符号表示时，必须保持对应角的正确顺序，不可随意排列。

判定

• 两个角对应相等的三角形相似(AAA或AA)；
• 两条边成比例，其夹角相等的两个三角形相似(ratio of 2 sides,inc.angles)；与全等类似，两个锐角三角形若两边成比例、且另一角相等，则并不一定相似。
• 三边均成比例的两个三角形相似(3 sides proportional)；
• 两个直角三角形的斜边、直角边成比例则相似。

性质

对应角相等

若两个三角形相似，则三个对应角相等。

${displaystyle angle A=angle D,angle B=angle E,angle C=angle F}$

若2个三角形相似，则三个对应边长成比例。除此之外，两三角形对应的中线、高、角平分线、周长均成比例，面积比是相似比的平方。

${displaystyle {frac {overline {AB}}{overline {DE}}}={frac {overline {BC}}{overline {EF}}}={frac {overline {CA}}{overline {FD}}}=k}$ 为两个三角形的相似比。

点直线和曲线平面图形立体图形曲面高维空间图形关系三角形关系量作图分支理论