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集肤效应--简介、理论、减缓集肤效应的方法、其它应用、举例、相关参考

理想中(图左)电子在导体中以平均分布的方式传导流通,集肤效应(图右)则是电子集中在导体的近外肤位置上流通,使横切面的核心部位呈现空泛状态,进而使电流输送量减少。

集肤效应(又称趋肤效应或直译作表皮效应,英语:Skin effect)是指导体中有交流电或者交变电磁场时,导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度指数衰减,即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看,导体的中心部分几乎没有电流流过,只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分,所以称为集肤效应。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡旋电场,与原来的电流相抵消。

简介

集肤效应最早在英国应用数学家贺拉斯·兰姆(Horace Lamb)1883年发表的一份论文中提及,只限于球壳状的导体。1885年,英国物理学家奥利弗·赫维赛德(Oliver Heaviside)将其推广到任何形状的导体。集肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加,并导致导线传输电流时效率减低,耗费金属资源。在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。

理论

当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时,随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度J指数衰减

其中,是导体表面的电流密度,表示电流与导体表面的距离,是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数,称为集肤深度(skin depth)。

其中:

ρ =导体的电阻率
ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
μ = 导体的绝对磁导率 = ,其中真空磁导率是导体的相对磁导率

对于很长的圆柱形导体,比如导线来说,如果它的直径大很多的话,它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为的圆柱导体对直流电的电阻。

其中:

L=导线的长度
D=导线直径

具体来说,假设是从离导线中心r处到导线表面的截面上通过的电流,为截面上的总电流,那么有:

其中BerBei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数(具体见下)。

圆柱形导体的模型

考虑一个半径为a,长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是交变的,圆柱中有频率为ω正弦交流电流。由麦克斯韦方程组

麦克斯韦-法拉第方程:

麦克斯韦-安培方程:

其中:

在导体中,欧姆定律的微分形式为:

σ是导体的电导率

我们假设导体是均匀的,于是导体各处的μσ都相同。于是有:

圆柱坐标系(r, θ, z)(z为圆柱导体的轴心)中,设电磁波随z轴前进,由对称性,电流密度是一个只和r有关的函数:

取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度,就有:

也就是:

由之前对电流密度的假设,,因此有:

在圆柱坐标系中,拉普拉斯算子写作:

,再将方程两边乘上r2就得到电流密度应该满足的方程:

在进行代换后,方程变为一个齐次的贝塞尔方程

由电流密度在r = 0的连续性,方程的解具有的形式,其中J0是零阶的第一类贝塞尔函数。于是:

其中j0是一个常数k为:

其中δ是集肤深度,

最后,电流密度为:

其中berbei是0阶的开尔文-贝塞尔函数

于是通过整个截面的电流总和就是:

BerBei为相应的原函数

便有如下更简洁的形式:

我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r处的电流总和:

于是有电流的分布函数:

一般来说,在给定的频率下,使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是:

以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线,交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大。

减缓集肤效应的方法

一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的利兹线英语Litz wire(源自德语:Litzendraht,意为“编织起来的线”)。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法,使得电磁场能够比较均匀地分布,这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后,产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。利兹线一般应用在高频交流电的传输中,可以同时减缓集肤效应和邻近效应。

高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线,这样能使铝质部分的工作部分温度降低,减低电阻率,并且由于集肤效应,电阻率较大的钢芯上承载极少的电流,因而无关紧要。

还有将实心导线换成空心导线管,中间补上绝缘材料的方法,这样可以减轻导线的重量。

在传输的频率在甚高频微波级别时,一般会使用镀(已知的除超导体外最好的导体)的导线,因为这时集肤深度非常的浅,使用更厚的银层已是浪费。

其它应用

集肤效应使得交变电流只通过导体的表面,因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用集肤效应来为钢进行表面淬火,使钢材表面的硬度增大。

集肤效应也可以描述为:导体中交变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减,因此在防晒霜中混入导体微粒(一般是氧化锌氧化钛),就能使阳光中的紫外线(高频电磁波)的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外,集肤效应也是电磁屏蔽的方法之一,利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置,这也是电梯里手机信号不好的原因。

举例

频率为10 GHz(微波)时各种材料的集肤深度:

导体 δ(μm
0.80
0.65
0.79
0.64

质导线中,集肤深度和频率的关系大致如下:

频率 δ
60 Hz 8.57 mm
10 kHz 0.66 mm
100 kHz 0.21 mm
1 MHz 66 µm
10 MHz 21 µm

相关参考